Депозитные сертификаты (CD) представляют собой простые и сложные проценты. Сложные проценты более выгодны для кредитора, если срок CD больше, чем период начисления сложных процентов. Мы видим систематическую «механику» начисления сложных процентов, а также преимущество более короткого периода начисления процентов. При расчете процентной прибыли необходима точность. Экспоненты могут усилить крошечные числовые различия до точки разногласий по поводу того, сколько причитается.
Несложные или простые проценты рассчитываются в процентах на основе начального депозита. Если CD имеет простую процентную ставку 5 процентов (r =0,05), а срок CD составляет десять лет (t =10), то первоначальный депозит (основная сумма, «P») даст окончательную прибыль (F) по формуле F =P_r_t . если P =1000, r =0,05, t =10; тогда F =1000_0.05_10 =500. В конце CD кредитор получает 500 долларов. Общая полученная сумма составляет 1000 + 500 =1500 долларов США.
При прочих равных условиях сложный процент окупается больше, чем простой процент. Пусть r =0,05 и начальная сумма инвестиций 1000 долларов. Тот же десятилетний срок CD. Как и раньше, P =1000, r =0,05, t =10. Общая формула для окончательной суммы приема немного сложнее:F =P _ [(1 + r) ^ t]. Подставляя указанные значения, уравнение принимает вид F =1000_ (1,05 ^ 10) =1000 * 1,6289 =1 628,89 доллара. Обратите внимание, что по сложным процентам прибыль за десять лет составила 628,89 долларов вместо 500 долларов. Причина в том, что ставка действует на ранее полученные проценты.
В первый год разницы нет. 1000_.05 =50, значит, выигрыш составляет 50 долларов. Однако на второй год 5-процентная ставка действует для 1050 долларов, а не для первоначального депозита в 1000 долларов. Через два года прибыль составит:1050_,05 =52,5, поэтому общая сумма через два года составит 1050 + 52,5 =1 102,50 доллара. При простом проценте на этом этапе у компакт-диска было бы всего 1100 долларов. Точно так же через три года процентная ставка действует на 1 102,50, давая:1102,50 * 0,05 =55,125. 1102,50 + 55,125 =1157,625, или 1157,63 доллара на счете. Простой процент даст 1150 долларов. Преимущество компаундирования со временем увеличивается.
Мы знаем, что при годовой ставке в 5 процентов 1000 долларов превращаются в 1050 долларов. Если бы деньги накапливались ежемесячно, ставка была бы разделена на 12 (5/12 =0,004167), и время «t =1» было бы выражено как t / 12 или 1/12. Новая формула сложения будет F =P_ (1 + r / 12) ^ (t / 12). Следовательно, F =1000_ (1.004167 ^ [1/12]). F =1000 * (1.00034) =1000.3465. Округленное до ближайшего цента, квартальное сложение дает 1 000,35 доллара. Разница небольшая, но, опять же, возрастающая за годы и даже десятилетия, она может стать существенной.
В приведенных выше расчетах десятичные дроби переносились на пять или шесть цифр после десятичной точки. Несмотря на то, что «настоящие деньги» с точностью до цента, показатели могут увеличить даже небольшую разницу. Для обеспечения точности и четкости информации о том, сколько кредитор ожидает получить - особенно со сложными процентами - расчеты должны выполняться с гораздо большим количеством десятичных знаков, чем два, требуемых для выплат с точностью до пенни.
